Упр.39.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}2^x, & x\ge 0,\\3x+1, & x<0.\end{cases}$$
   а) Вычислите $$f(-3)$$; $$f(-2{,}5)$$; $$f(0)$$; $$f(2)$$; $$f(3{,}5)$$;
   б) постройте график функции $$y=f(x)$$;
   в) прочитайте график функции.

$$f(x)= \begin{cases} 2^x, & x \ge 0,\\ 3x+1, & x<0. \end{cases}$$

а) Вычислим значения функции

Для отрицательных аргументов используем формулу $$3x+1$$, для неотрицательных — $$2^x$$:

$$f(-3)=3\cdot(-3)+1=-9+1=-8;$$

$$f(-2{,}5)=3\cdot(-2{,}5)+1=-7{,}5+1=-6{,}5;$$

$$f(0)=2^0=1;$$

$$f(2)=2^2=4;$$

$$f(3{,}5)=2^{3{,}5}=2^3\cdot 2^{0{,}5}=8\sqrt{2}.$$

б) Построим график функции

При $$x<0$$ график задаётся прямой $$y=3x+1$$. Для построения удобно отметить точки:

$$(-1;\,-2), \quad (0;\,1).$$

При $$x \ge 0$$ график задаётся показательной функцией $$y=2^x$$. Для построения отметим точки:

$$(0;\,1), \quad (1;\,2), \quad (3;\,8).$$

Итак, график состоит из луча прямой $$y=3x+1$$ при $$x<0$$ и ветви графика $$y=2^x$$ при $$x \ge 0$$. Обе части соединяются в точке $$(0;\,1)$$.

в) Свойства функции

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$

Функция ни чётная, ни нечётная.

Функция возрастает на всей числовой прямой.

Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Наименьшего и наибольшего значений не имеет.

Функция непрерывна на всей области определения.

$$E(f)=(-\infty;+\infty).$$

Ответ

$$f(-3)=-8,\quad f(-2{,}5)=-6{,}5,\quad f(0)=1,\quad f(2)=4,\quad f(3{,}5)=8\sqrt{2}.$$