Упр.39.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) $$y=2^x$$, $$[1;4]$$; б) $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$, $$[-4;-2]$$; в) $$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$$, $$[0;4]$$; г) $$y=2^x$$, $$[-4;2]$$.

Для показательной функции значение на отрезке достигает экстремумов на концах отрезка. Если основание больше $$1$$, функция возрастает, если основание меньше $$1$$ — убывает.

1. $$y=2^x,\quad [1;4]$$

   Так как $$2>1,$$ функция возрастает. Значит,

   $$y_{\min}=y(1)=2^1=2,$$

   $$y_{\max}=y(4)=2^4=16.$$

2. $$y=\left(\frac13\right)^x,\quad [-4;-2]$$

   Так как $$\frac13<1,$$ функция убывает. Значит,

   $$y_{\max}=y(-4)=\left(\frac13\right)^{-4}=3^4=81,$$

   $$y_{\min}=y(-2)=\left(\frac13\right)^{-2}=3^2=9.$$

3. $$y=\left(\frac13\right)^x,\quad [0;4]$$

   Так как $$\frac13<1,$$ функция убывает. Значит,

   $$y_{\max}=y(0)=\left(\frac13\right)^0=1,$$

   $$y_{\min}=y(4)=\left(\frac13\right)^4=\frac1{81}.$$

4. $$y=2^x,\quad [-4;2]$$

   Так как $$2>1,$$ функция возрастает. Значит,

   $$y_{\min}=y(-4)=2^{-4}=\frac1{16},$$

   $$y_{\max}=y(2)=2^2=4.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=2,\; y_{\max}=16.$$

б) $$y_{\min}=9,\; y_{\max}=81.$$

в) $$y_{\min}=\frac1{81},\; y_{\max}=1.$$

г) $$y_{\min}=\frac1{16},\; y_{\max}=4.$$