Упр.38.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^{\frac{1}{4}}$$: а) на отрезке $$[0;1]$$; б) на луче $$[1;+\infty)$$; в) на интервале $$(2;3)$$; г) на полуинтервале $$(5;16]$$.
Функция $$y=x^{\frac14}$$ определена при $$x\ge 0$$ и на всей области определения возрастает, так как
$$y’=\frac14x^{-\frac34}>0.$$
а) На отрезке $$[0;1]$$
Так как функция возрастает, то
$$y_{\min}=y(0)=0^{\frac14}=0,$$
$$y_{\max}=y(1)=1^{\frac14}=1.$$
б) На луче $$[1;+\infty)$$
Функция возрастает, значит наименьшее значение достигается в левой границе:
$$y_{\min}=y(1)=1^{\frac14}=1.$$
При $$x\to+\infty$$ значение $$y=x^{\frac14}$$ неограниченно возрастает, поэтому наибольшего значения нет.
в) На интервале $$\left(2;3\right)$$
Функция возрастает, но концы интервала не входят в область рассмотрения, поэтому ни наименьшее, ни наибольшее значение не достигаются.
г) На полуинтервале $$\left(5;16\right]$$
Функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается в правом конце:
$$y_{\max}=y(16)=16^{\frac14}=2.$$
Наименьшего значения нет, так как точка $$x=5$$ не входит в полуинтервал.
Ответ
а) $$y_{\min}=0,\; y_{\max}=1$$;
б) $$y_{\min}=1,\; y_{\max}$$ не существует;
в) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}$$ не существует;
г) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=2$$.
