Упр.38.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте степенную функцию на монотонность: а) $$y=x^{12}$$; б) $$y=x^{-\frac{1}{6}}$$; в) $$y=x^{-11}$$; г) $$y=x^{\frac{1}{7}}$$.
Исследуем каждую степенную функцию по знаку производной.
$$y=x^{12}$$
$$y’=(x^{12})’=12x^{11}$$
При $$x<0$$ имеем $$y'<0$$, а при $$x>0$$ имеем $$y’>0$$. Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.
$$y=x^{-\frac16}$$
Область определения: $$x>0$$.
$$y’=\left(x^{-\frac16}\right)’=-\frac16x^{-\frac76}$$
Так как $$x>0$$, то $$y'<0$$. Следовательно, функция убывает на $$(0;+\infty)$$.
$$y=x^{-11}$$
Область определения: $$x\neq 0$$.
$$y’=\left(x^{-11}\right)’=-11x^{-12}$$
Поскольку $$x^{-12}>0$$ при всех $$x\neq 0$$, то $$y'<0$$ на всей области определения. Значит, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и на $$(0;+\infty)$$.
$$y=x^{\frac17}$$
$$y’=\left(x^{\frac17}\right)’=\frac17x^{-\frac67}$$
Для всех $$x>0$$ производная положительна, поэтому функция возрастает на $$(0;+\infty)$$. Для степенной функции с нечётным знаменателем корня область определения — все действительные числа, и функция возрастает на всей области определения $$(-\infty;+\infty)$$.
Ответ: а) убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$; б) убывает на $$(0;+\infty)$$; в) убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$; г) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.
