Упр.38.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Исследуйте степенную функцию на ограниченность: а) $$y=x^8$$; б) $$y=x^{-\frac{3}{4}}$$; в) $$y=x^{-5}$$; г) $$y=x^{\frac{2}{5}}$$.

а) Для функции $$y=x^8$$ при всех $$x$$ имеем $$x^8\ge 0$$. Наименьшее значение достигается при $$x=0$$:

$$y_{\min}=0.$$

Следовательно, функция ограничена снизу.

б) Для функции $$y=x^{-\frac34}=\frac{1}{x^{3/4}}$$ область определения: $$x>0$$. При $$x>0$$ значение функции положительно, а при $$x\to +\infty$$

$$\lim_{x\to+\infty}x^{-\frac34}=0.$$

Значит, функция ограничена снизу.

в) Для функции $$y=x^{-5}=\frac{1}{x^5}$$ область определения: $$x\ne 0$$. При $$x\to 0^+$$ и $$x\to 0^-$$ значение функции неограниченно возрастает по модулю, а при больших $$|x|$$ стремится к нулю:

$$\lim_{x\to 0}x^{-5}=\infty \text{ по модулю}, \qquad \lim_{x\to\pm\infty}x^{-5}=0.$$

Следовательно, функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

г) Для функции $$y=x^{\frac25}$$ область определения: $$x\ge 0$$. Так как $$x^{\frac25}\ge 0$$ при всех допустимых $$x$$, а при $$x=0$$

$$y_{\min}=0,$$

то функция ограничена снизу.

Ответ: а) ограничена снизу; б) ограничена снизу; в) не ограничена; г) ограничена снизу.