Упр.38.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Проведите касательную к графику заданной функции из данной точки \(M\): а) $$y=\sqrt{x}$$, $$M(0;1)$$; б) $$y=\frac{x^3}{2}+4$$, $$M(0;0)$$.

а) Пусть точка касания имеет абсциссу $$a>0$$. Тогда

$$f(x)=\sqrt{x}, \qquad f(a)=\sqrt{a}, \qquad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a).$$

Так как касательная проходит через точку $$M(0;1)$$, получаем

$$1=\sqrt{a}-\frac{a}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{2}.$$

Отсюда

$$\sqrt{a}=2, \qquad a=4.$$

Точка касания: $$K(4;2).$$ Тогда

$$y-1=\frac{2-1}{4-0}(x-0),$$

то есть

$$y=\frac{x}{4}+1.$$

б) Пусть точка касания имеет абсциссу $$a>0$$. Тогда

$$f(x)=x^{\frac{3}{2}}+4, \qquad f(a)=a^{\frac{3}{2}}+4, \qquad f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}, \qquad f'(a)=\frac{3}{2}\sqrt{a}.$$

Уравнение касательной:

$$y=a^{\frac{3}{2}}+4+\frac{3}{2}\sqrt{a}(x-a).$$

Так как касательная проходит через точку $$M(0;0)$$, имеем

$$0=a^{\frac{3}{2}}+4-\frac{3}{2}a^{\frac{3}{2}}=4-\frac{1}{2}a^{\frac{3}{2}}.$$

Следовательно,

$$a^{\frac{3}{2}}=8, \qquad a=4.$$

Точка касания: $$K(4;12).$$ Тогда

$$y-0=\frac{12-0}{4-0}(x-0),$$

то есть

$$y=3x.$$

Ответ: а) $$y=\frac{x}{4}+1$$; б) $$y=3x$$.