Упр.38.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Проведите касательную к графику функции $$y=f(x)$$, параллельную заданной прямой $$y=kx+m$$: а) $$f(x)=4\sqrt[4]{x},\ y=x-2$$; б) $$f(x)=\frac{1}{x^3},\ y=5-3x$$.
Найдём уравнение касательной, параллельной заданной прямой. Для этого её угловой коэффициент должен совпадать с угловым коэффициентом данной прямой.
а)
$$f(x)=4\sqrt[4]{x}, \qquad y=x-2$$
У заданной прямой угловой коэффициент равен $$k=1.$$
Найдём производную функции:
$$f'(x)=4\cdot \frac{1}{4}x^{-\frac34}=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}.$$
Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:
$$\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=1,$$
откуда
$$\sqrt[4]{x^3}=1,\qquad x=1.$$
Найдём ординату точки касания:
$$f(1)=4\sqrt[4]{1}=4.$$
Уравнение касательной:
$$y-4=1(x-1),$$
$$y=x+3.$$
б)
$$f(x)=\frac{1}{x^3}, \qquad y=5-3x$$
У заданной прямой угловой коэффициент равен $$k=-3.$$
Найдём производную функции:
$$f'(x)=\left(x^{-3}\right)’=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}.$$
Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:
$$-\frac{3}{x^4}=-3,$$
откуда
$$x^4=1,\qquad x=\pm 1.$$
Найдём соответствующие значения функции:
$$f(1)=\frac{1}{1^3}=1,\qquad f(-1)=\frac{1}{(-1)^3}=-1.$$
Составим уравнения касательных:
$$y-1=-3(x-1),$$
$$y=-3x+4;$$
$$y+1=-3(x+1),$$
$$y=-3x-4.$$
Ответ: а) $$y=x+3$$; б) $$y=-3x+4,$$ $$y=-3x-4.$$
