Упр.38.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Решите неравенство $$f'(x)>0$$, если:
а) $$f(x)=x^2-\frac{2}{3}x^{3/2}$$;
б) $$f(x)=-\frac{8}{x}-\frac{x^2}{2}$$;
в) $$f(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}+\frac{3}{2}x^{4/3}$$;
г) $$f(x)=0{,}4x^{5/4}-\frac{8}{3}x^{3/4}$$.

Подробный ответ

Найдём производную и решим неравенство $$f'(x)>0$$ в каждом пункте.

$$f(x)=x^2-\frac{2}{3}x^{3/2}$$
$$f'(x)=2x-\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=2x-\sqrt{x}$$
Решим неравенство:
$$2x-\sqrt{x}>0$$
Так как $$x\ge 0$$, положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2$$. Получаем:
$$2t^2-t>0$$
$$t(2t-1)>0$$
При $$t\ge 0$$ это возможно только при $$t>\frac12$$, то есть
$$\sqrt{x}>\frac12 \quad \Rightarrow \quad x>\frac14$$
С учётом области определения $$x\ge 0$$ получаем:
$$x\in\left(\frac14;+\infty\right)$$
$$f(x)=-\frac{8}{x}-\frac{x^2}{2}$$
$$f'(x)=\frac{8}{x^2}-x$$
Решим неравенство:
$$\frac{8}{x^2}-x>0$$
$$\frac{8-x^3}{x^2}>0$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, достаточно решить:
$$8-x^3>0$$
$$x^3<8$$
$$x<2$$
С учётом области определения $$x\ne 0$$:
$$x\in(-\infty;0)\cup(0;2)$$
$$f(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}+\frac{3}{2}x^{4/3}$$
$$f'(x)=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}x^{2/3}+\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3}=x^{2/3}+2x^{1/3}$$
Решим неравенство:
$$x^{2/3}+2x^{1/3}>0$$
$$x^{1/3}\left(x^{1/3}+2\right)>0$$
Положим $$t=\sqrt[3]{x}$$. Тогда:
$$t(t+2)>0$$
Отсюда $$t<-2$$ или $$t>0$$, то есть
$$x<-8 \quad \text{или} \quad x>0$$
Но при $$x<-8$$ произведение действительно положительно, а при $$x>0$$ тоже положительно. Следовательно,
$$x\in(-\infty;-8)\cup(0;+\infty)$$
$$f(x)=0{,}4x^{5/4}-\frac{8}{3}x^{3/4}$$
$$f'(x)=0{,}4\cdot\frac{5}{4}x^{1/4}-\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{4}x^{-1/4}=\frac{x^{1/4}}{2}-\frac{2}{x^{1/4}}$$
Решим неравенство:
$$\frac{x^{1/4}}{2}-\frac{2}{x^{1/4}}>0$$
Область определения: $$x>0$$. Умножим на $$2x^{1/4}>0$$:
$$x^{1/2}-4>0$$
$$\sqrt{x}>4$$
$$x>16$$
$$x\in(16;+\infty)$$