Упр.38.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$g'(x)=0$$, если:
   а) $$g(x)=2\sqrt{x}-x$$;
   б) $$g(x)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}}+2x$$;
   в) $$g(x)=\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}-2x$$;
   г) $$g(x)=\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}-\frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}-2x$$.

Найдём производные и решим уравнение $$g'(x)=0$$ в каждом пункте.

1. $$g(x)=2\sqrt{x}-x$$

   $$g'(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1}{\sqrt{x}}-1$$

   Решаем уравнение:

   $$\frac{1}{\sqrt{x}}-1=0$$

   $$\frac{1}{\sqrt{x}}=1$$

   $$\sqrt{x}=1$$

   $$x=1$$

2. $$g(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{12}{5}x^{5/4}+2x$$

   $$g'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}-\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{4}x^{1/4}+2=\sqrt{x}-3\sqrt[4]{x}+2$$

   Решаем уравнение:

   $$\sqrt{x}-3\sqrt[4]{x}+2=0$$

   Положим $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-3t+2=0$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$

   $$t=1 \text{ или } t=2$$

   Тогда:

   $$\sqrt[4]{x}=1 \Rightarrow x=1$$

   $$\sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=16$$

3. $$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-2x$$

   $$g'(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}x^{1/3}-2=\sqrt[3]{x}-2$$

   Решаем уравнение:

   $$\sqrt[3]{x}-2=0$$

   $$\sqrt[3]{x}=2$$

   $$x=8$$

4. $$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{6}{7}x^{7/6}-2x$$

   $$g'(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}x^{1/3}-\frac{6}{7}\cdot \frac{7}{6}x^{1/6}-2=\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2$$

   Решаем уравнение:

   $$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2=0$$

   Положим $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-t-2=0$$

   $$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0$$

   Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0$$, подходит только $$t=2$$.

   $$\sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=64$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$1,\,16$$; в) $$8$$; г) $$64$$.