Упр.38.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите графически неравенство:

а) $$x^{1/2}<6-x$$; б) $$x^{3/2}\geq x^{-2}$$; в) $$x^{-1/4}\leq x^3$$; г) $$x^{2/3}>x-4$$.

Рассмотрим каждое неравенство графически.

1. $$x^{\frac12} < 6-x$$

   Область определения: $$x \ge 0.$$

   Графики функций $$y=x^{\frac12}$$ и $$y=6-x$$ пересекаются при $$x=4$$, так как

   $$\sqrt{x}=6-x \Rightarrow x=4.$$

   На промежутке между точками пересечения график $$y=x^{\frac12}$$ расположен ниже графика $$y=6-x$$, значит

   $$0 \le x < 4.$$

2. $$x^{\frac32} \ge x^{-2}$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Графики функций $$y=x^{\frac32}$$ и $$y=x^{-2}$$ пересекаются при $$x=1$$.

   При $$x \ge 1$$ выполняется неравенство $$x^{\frac32} \ge x^{-2}$$, поэтому

   $$x \in [1; +\infty).$$

3. $$x^{-\frac14} \le x^3$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Графики функций $$y=x^{-\frac14}$$ и $$y=x^3$$ пересекаются при $$x=1$$.

   При $$x \ge 1$$ имеем $$x^{-\frac14} \le x^3$$, значит

   $$x \in [1; +\infty).$$

4. $$x^{\frac23} > x-4$$

   Графики функций $$y=x^{\frac23}$$ и $$y=x-4$$ пересекаются при $$x=8$$.

   На промежутке от $$0$$ до $$8$$ график $$y=x^{\frac23}$$ расположен выше графика $$y=x-4$$, поэтому

   $$0 \le x < 8.$$

Ответ: а) $$x \in [0;4)$$; б) $$x \in [1;+\infty)$$; в) $$x \in [1;+\infty)$$; г) $$x \in [0;8)$$.