Упр.38.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке:
а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\quad [1;9];$$
б) $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,\quad (0;8);$$
в) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\quad (1;9);$$
г) $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,\quad [0;8].$$
Рассмотрим функцию $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x=\frac{2}{3}x^{\frac32}-2x.$$
а) $$[1;9]$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\frac12}-2=\sqrt{x}-2.$$
Критическая точка:
$$\sqrt{x}-2=0 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$
Вычислим значения функции в концах промежутка и в критической точке:
$$y(1)=\frac{2}{3}\cdot1\cdot1-2=-\frac{4}{3}, \\ y(4)=\frac{2}{3}\cdot4\cdot2-8=-\frac{8}{3}, \\ y(9)=\frac{2}{3}\cdot9\cdot3-18=0.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-\frac{8}{3}$$, наибольшее — $$0$$.
б) $$\left(0;8\right)$$
Рассмотрим функцию $$y=\frac{3}{2}x^{\frac23}-x.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}x^{-\frac13}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Критическая точка:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0 \Rightarrow \sqrt[3]{x}=1 \Rightarrow x=1.$$
В этой точке функция принимает значение:
$$y(1)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.$$
При $$x\to 0+$$ и $$x\to 8-$$ значение функции стремится к $$0$$ и $$2$$ соответственно, но границы промежутка не входят в область определения на данном промежутке. Поэтому наименьшее значение не достигается, а наибольшее значение равно $$\frac{1}{2}$$.
в) $$\left(1;9\right)$$
Для функции $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x$$ производная такая же:
$$y'(x)=\sqrt{x}-2.$$
Критическая точка $$x=4$$ принадлежит промежутку $$\left(1;9\right)$$, и
$$y(4)=-\frac{8}{3}.$$
Так как промежуток открытый, наибольшее значение не достигается.
г) $$[0;8]$$
Для функции $$y=\frac{3}{2}x^{\frac23}-x$$ имеем:
$$y'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Критическая точка:
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0 \Rightarrow x=1.$$
Вычислим значения функции в точках $$0$$, $$1$$ и $$8$$:
$$y(0)=0, \\ y(1)=\frac{1}{2}, \\ y(8)=\frac{3}{2}\cdot 8^{\frac23}-8=\frac{3}{2}\cdot 4-8=-2.$$
Значит, $$y_{\min}=-2$$, $$y_{\max}=\frac{1}{2}$$.
Ответ: а) $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\ y_{\max}=0$$; б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=\frac{1}{2}$$; в) $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\ y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=\frac{1}{2}$$.
