Упр.38.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x$$; б) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x$$.
а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{2}{3}\left(x^{\frac{3}{2}}\right)’- (2x)’=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-2=\sqrt{x}-2.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Исследуем знак производной:
$$y'<0 \text{ при } 0\le x<4,\qquad y’=0 \text{ при } x=4,\qquad y’>0 \text{ при } x>4.$$
Значит, функция убывает на $$[0;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty).$$
В точке $$x=4$$ достигается минимум:
$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot 4\sqrt{4}-2\cdot 4=\frac{2}{3}\cdot 8-8=\frac{16}{3}-\frac{24}{3}=-\frac{8}{3}.$$
б) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{3}{2}\left(x^{\frac{2}{3}}\right)’- (x)’=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Для производной нужно учитывать, что при $$x=0$$ она не существует, поэтому рассматриваем $$x>0.$$
Решим неравенство:
$$y’>0 \iff \frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1>0 \iff \frac{1-\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}>0 \iff 0<x<1.$$
При $$x>1$$ имеем $$y'<0.$$ Следовательно, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$
В точке $$x=1$$ достигается максимум:
$$y(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{\frac{2}{3}}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.$$
Ответ
а) $$y$$ убывает на $$[0;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty)$$; $$x=4$$ — точка минимума, $$y_{\min}=-\frac{8}{3}.$$
б) $$y$$ возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$; $$x=1$$ — точка максимума, $$y_{\max}=\frac{1}{2}.$$
