Упр.38.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функцию на монотонность и экстремум и постройте её график:

а) $$y=\sqrt{x}-x$$;

б) $$y=x\sqrt{x+2}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x}-x.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\sqrt{x}\right)’-\left(x\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.$$

На области определения знаменатель положителен при $$x>0,$$ поэтому знак производной определяется числителем:

$$1-2\sqrt{x}=0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x}=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\frac14.$$

Тогда

$$y’>0 \text{ при } 0<x<\frac14,\qquad y'<0 \text{ при } x>\frac14.$$

Следовательно, функция возрастает на $$\left[0;\frac14\right]$$ и убывает на $$\left[\frac14;+\infty\right).$$

В точке $$x=\frac14$$ достигается максимум:

$$y\left(\frac14\right)=\sqrt{\frac14}-\frac14=\frac12-\frac14=\frac14.$$

Значит, точка максимума: $$\left(\frac14;\frac14\right).$$

Для построения графика можно отметить точки:

$$\begin{array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 4 & 9 \\ \hline y & 0 & 0 & -2 & -6 \end{array}$$

График проходит через эти точки, имеет вершину в $$\left(\frac14;\frac14\right)$$ и затем убывает.

б) Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{x+2}.$$

Область определения: $$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$

Найдём производную:

$$y’=(x)’\sqrt{x+2}+x\left(\sqrt{x+2}\right)’=\sqrt{x+2}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+2}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y’=\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}}=\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}.$$

На области определения при $$x>-2$$ знаменатель положителен, значит знак производной определяется числителем:

$$3x+4=0 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac43.$$

Тогда

$$y'<0 \text{ при } -2<x<-\frac43,\qquad y’>0 \text{ при } x>-\frac43.$$

Следовательно, функция убывает на $$\left[-2;-\frac43\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac43;+\infty\right).$$

В точке $$x=-\frac43$$ достигается минимум:

$$y\left(-\frac43\right)=-\frac43\sqrt{-\frac43+2}=-\frac43\sqrt{\frac23}=-\frac{4\sqrt6}{9}.$$

Значит, точка минимума: $$\left(-\frac43;-\frac{4\sqrt6}{9}\right).$$

Для построения графика можно отметить точки:

$$\begin{array}{c|cccc} x & -2 & -1 & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & -1 & 0 & 4 \end{array}$$

График проходит через эти точки, имеет минимум в $$\left(-\frac43;-\frac{4\sqrt6}{9}\right)$$ и затем возрастает.

Ответ

а) $$y=\sqrt{x}-x$$: возрастает на $$\left[0;\frac14\right]$$, убывает на $$\left[\frac14;+\infty\right)$$, максимум при $$x=\frac14$$, $$y_{\max}=\frac14.$$

б) $$y=x\sqrt{x+2}$$: убывает на $$\left[-2;-\frac43\right]$$, возрастает на $$\left[-\frac43;+\infty\right)$$, минимум при $$x=-\frac43$$, $$y_{\min}=-\frac{4\sqrt6}{9}.$$