Упр.38.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
   а) $$f(x)=4-x^{-\frac{3}{4}},\quad x_0=1$$;
   б) $$f(x)=12x^{-\frac{1}{2}}-x,\quad x_0=9$$;
   в) $$f(x)=2x^{\frac{2}{3}}-1,\quad x_0=8$$;
   г) $$f(x)=x^{-3}+\sqrt[6]{x},\quad x_0=1$$.

а) $$f(x)=4-x^{-\frac34}$$

Найдём производную:

$$f'(x)=0-\left(x^{-\frac34}\right)’=-\left(-\frac34x^{-\frac74}\right)=\frac34x^{-\frac74}.$$

Тогда

$$k=f'(1)=\frac34\cdot 1^{-\frac74}=\frac34.$$

Ответ: $$\frac34$$

б) $$f(x)=12x^{-\frac12}-x$$

$$f'(x)=12\left(x^{-\frac12}\right)’-(x)’=12\cdot\left(-\frac12x^{-\frac32}\right)-1=-6x^{-\frac32}-1.$$

Тогда

$$k=f'(9)=-6\cdot 9^{-\frac32}-1=-\frac{6}{\sqrt{9^3}}-1=-\frac{6}{27}-1=-\frac29-1=-\frac{11}{9}.$$

Ответ: $$-\frac{11}{9}$$

в) $$f(x)=2x^{\frac23}-1$$

$$f'(x)=2\cdot \frac23 x^{-\frac13}=\frac{4}{3\sqrt[3]{x}}.$$

Тогда

$$k=f'(8)=\frac{4}{3\sqrt[3]{8}}=\frac{4}{3\cdot 2}=\frac23.$$

Ответ: $$\frac23$$

г) $$f(x)=x^{-3}+6\sqrt{x}$$

$$f'(x)=(x^{-3})’+6(\sqrt{x})’=-3x^{-4}+6\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{3}{x^4}+\frac{3}{\sqrt{x}}.$$

Тогда

$$k=f'(1)=-\frac{3}{1^4}+\frac{3}{\sqrt{1}}=-3+3=0.$$

Ответ: $$0$$