Упр.38.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите значение производной функции $$y=g(x)$$ в заданной точке $$x_0$$: а) $$g(x)=x^3-\sqrt[3]{x},\ x_0=1$$; б) $$g(x)=\sqrt[3]{3x-1},\ x_0=\frac{2}{3}$$; в) $$g(x)=x^{-1}+x^{-2},\ x_0=1$$; г) $$g(x)=\frac{1}{3}(5-2x)^{-3},\ x_0=2$$.

а) $$g(x)=x^3-3\sqrt{x}, \quad x_0=1$$

$$g'(x)=(x^3)’-(3\sqrt{x})’=3x^2-\frac{3}{2\sqrt{x}}$$
$$g'(1)=3\cdot 1^2-\frac{3}{2\sqrt{1}}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}=1{,}5$$

Ответ: $$1{,}5$$

б) $$g(x)=\sqrt[3]{3x-1}, \quad x_0=\frac{2}{3}$$

$$g(x)=(3x-1)^{\frac13}$$
$$g'(x)=\frac13(3x-1)^{-\frac23}\cdot 3=(3x-1)^{-\frac23}=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}}$$
$$g’\!\left(\frac23\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{(3\cdot \frac23-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}}=1$$

Ответ: $$1$$

в) $$g(x)=x^{-1}+x^{-2}, \quad x_0=1$$

$$g'(x)=(x^{-1})’+(x^{-2})’=-x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}$$
$$g'(1)=-\frac{1}{1^2}-\frac{2}{1^3}=-1-2=-3$$

Ответ: $$-3$$

г) $$g(x)=\frac13(5-2x)^{-3}, \quad x_0=2$$

$$g'(x)=\frac13\cdot(-3)(5-2x)^{-4}\cdot(-2)=2(5-2x)^{-4}=\frac{2}{(5-2x)^4}$$
$$g'(2)=\frac{2}{(5-2\cdot 2)^4}=\frac{2}{1^4}=2$$

Ответ: $$2$$