Упр.38.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

Рассмотрим функцию по частям:

$$y= \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x<0,\\[4pt] x^{-\frac12}, & x>0. \end{cases}$$

Построим графики обеих частей.

1) При $$x<0$$ имеем график функции $$y=\dfrac{1}{x}$$ — левую ветвь гиперболы.

Возьмём несколько точек:

$$x=-2,\ -1,\ -0{,}5 \quad \Rightarrow \quad y=-0{,}5,\ -1,\ -2.$$

2) При $$x>0$$ имеем функцию

$$y=x^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.$$

Возьмём точки:

$$x=0{,}25,\ 1,\ 4 \quad \Rightarrow \quad y=2,\ 1,\ 0{,}5.$$

Соединим полученные точки плавными ветвями. Получается график, состоящий из двух частей: левая ветвь гиперболы при $$x<0$$ и убывающая кривая при $$x>0$$.

Найдём основные свойства функции:

область определения: $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
функция ни чётная, ни нечётная;
убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$;
вертикальная асимптота: $$x=0$$;
горизонтальная асимптота: $$y=0$$;
функция не ограничена ни сверху, ни снизу;
множество значений: $$E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.

Ответ: график функции состоит из двух ветвей: $$y=\dfrac{1}{x}$$ при $$x<0$$ и $$y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$ при $$x>0$$; $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, $$E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.