Упр.38.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^{-\frac{2}{3}}$$:
   а) на отрезке $$[1; 8]$$;
   б) на интервале $$(3; 5)$$;
   в) на луче $$[1; +\infty)$$;
   г) на полуинтервале $$(0; 1]$$.

Функция $$y=x^{-\frac23}=\frac1{x^{\frac23}}$$ определена при $$x>0$$ и на своей области определения убывает, так как

$$y’=-\frac23x^{-\frac53}<0.$$

1. На отрезке $$[1;8]$$ наибольшее значение функция принимает в левой границе, а наименьшее — в правой:

   $$y(1)=1^{-\frac23}=1,$$

   $$y(8)=8^{-\frac23}=\frac1{(2^3)^{\frac23}}=\frac1{2^2}=\frac14.$$

   Ответ: $$y_{\min}=\frac14,\; y_{\max}=1.$$

2. На интервале $$(3;5)$$ функция убывает, но границы интервала не входят в область рассмотрения, поэтому наименьшее и наибольшее значения не достигаются.

   Ответ: $$y_{\min}$$ — не существует; $$y_{\max}$$ — не существует.

3. На луче $$[1;+\infty)$$ наибольшее значение достигается в точке $$x=1$$, а наименьшего значения нет, так как при $$x\to+\infty$$ имеем $$y\to0$$.

   $$y(1)=1.$$

   Ответ: $$y_{\min}$$ — не существует; $$y_{\max}=1.$$

4. На полуинтервале $$(0;1]$$ функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается в точке $$x=1$$, а наименьшего значения нет, так как при $$x\to0+$$ имеем $$y\to+\infty$$.

   $$y(1)=1.$$

   Ответ: $$y_{\min}=1,\; y_{\max}$$ — не существует.