Упр.38.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\frac{x^5}{2}$$:
а) на луче $$[0;+\infty)$$;
б) на полуинтервале $$[1;3)$$;
в) на отрезке $$[1;2]$$;
г) на полуинтервале $$(6;8]$$.
Функция $$y=x^{5/2}$$ на своей области определения $$x\ge 0$$ возрастает, так как при $$x>0$$
$$y’=\frac{5}{2}x^{3/2}>0.$$
а) На луче $$[0;+\infty)$$
Так как функция возрастает, наименьшее значение достигается в левой границе:
$$y_{\min}=y(0)=0^{5/2}=0.$$
Наибольшего значения на луче нет, так как при $$x\to+\infty$$ значение функции неограниченно возрастает.
Ответ: $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}$$ не существует.
б) На полуинтервале $$[1;3)$$
Функция возрастает, значит наименьшее значение достигается при $$x=1$$:
$$y_{\min}=y(1)=1^{5/2}=1.$$
Наибольшего значения нет, так как правая граница $$3$$ не входит в промежуток.
Ответ: $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}$$ не существует.
в) На отрезке $$[1;2]$$
Так как функция возрастает, то
$$y_{\min}=y(1)=1^{5/2}=1,$$
$$y_{\max}=y(2)=2^{5/2}=2^2\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$$
Ответ: $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=4\sqrt{2}.$$
г) На полуинтервале $$(6;8]$$
Функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=8$$:
$$y_{\max}=y(8)=8^{5/2}=(2^3)^{5/2}=2^{15/2}=2^7\sqrt{2}=128\sqrt{2}.$$
Наименьшего значения нет, так как левая граница $$6$$ не входит в промежуток.
Ответ: $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=128\sqrt{2}.$$
