Упр.37.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\frac{a^{1/2}+b^{1/2}}{a^{1/2}}-\frac{a^{1/2}}{a^{1/2}-b^{1/2}}+\frac{b}{a-a^{1/2}b^{1/2}}$$

а)

$$\frac{a^{\frac12}+b^{\frac12}}{a^{\frac12}}-\frac{a^{\frac12}}{a^{\frac12}-b^{\frac12}}+\frac{b}{a-a^{\frac12}b^{\frac12}}$$

Приведём к общему знаменателю $$a^{\frac12}\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\left(a-a^{\frac12}b^{\frac12}\right)$$:

$$\frac{\left(a^{\frac12}+b^{\frac12}\right)\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\left(a-a^{\frac12}b^{\frac12}\right)}{a^{\frac12}\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\left(a-a^{\frac12}b^{\frac12}\right)} -\frac{a^{\frac12}\cdot a^{\frac12}\left(a-a^{\frac12}b^{\frac12}\right)}{a^{\frac12}\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\left(a-a^{\frac12}b^{\frac12}\right)} +\frac{b\cdot a^{\frac12}\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)}{a^{\frac12}\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\left(a-a^{\frac12}b^{\frac12}\right)}$$

$$= \frac{(a-b)\left(a-a^{\frac12}b^{\frac12}\right)-a\left(a-a^{\frac12}b^{\frac12}\right)+a^{\frac12}b\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)}{a^{\frac12}\left(a^{\frac12}-b^{\frac12}\right)\left(a-a^{\frac12}b^{\frac12}\right)}$$

Числитель равен:

$$(a-b)-a+b=0$$

Следовательно, всё выражение равно $$0$$.

б)

$$\frac{2a^{\frac13}}{a^{\frac43}-3a^{\frac13}}-\frac{a^{\frac23}}{a^{\frac53}-a^{\frac23}}-\frac{a+1}{a^2-4a+3}$$

Разложим знаменатели на множители:

$$a^{\frac43}-3a^{\frac13}=a^{\frac13}(a-3), \qquad a^{\frac53}-a^{\frac23}=a^{\frac23}(a-1), \qquad a^2-4a+3=(a-1)(a-3)$$

Тогда

$$\frac{2a^{\frac13}}{a^{\frac13}(a-3)}-\frac{a^{\frac23}}{a^{\frac23}(a-1)}-\frac{a+1}{(a-1)(a-3)} = \frac{2}{a-3}-\frac{1}{a-1}-\frac{a+1}{(a-1)(a-3)}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(a-1)-(a-3)-(a+1)}{(a-1)(a-3)} = \frac{2a-2-a+3-a-1}{(a-1)(a-3)} = \frac{0}{(a-1)(a-3)}=0$$

Итак, выражение равно $$0$$.

Ответ: а) $$0$$; б) $$0$$.