Упр.37.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Имеет ли смысл выражение:

• а) $$5^{-4/3}$$;
• б) $$(-16)^{2/3}$$;
• в) $$23^{-3/2}$$;
• г) $$(-25)^{-1/2}$$?

Для степени с дробным показателем $$a^{\frac{m}{n}}$$ основание должно быть неотрицательным, если знаменатель $$n$$ чётный. Если же показатель можно привести к виду с нечётным знаменателем, то отрицательное основание допустимо.

1. $$5^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{5^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$$

   Основание степени неотрицательное, значит, выражение имеет смысл.

2. $$(-16)^{\frac{2}{3}}$$

   Здесь знаменатель показателя $$3$$ нечётный, но основание отрицательное, а степень с дробным показателем в таком виде определена. Однако при записи через корень получаем:

   $$(-16)^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{-16}\right)^2$$

   Такое выражение имеет смысл.

3. $$23^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{23^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{23^3}}$$

   Основание положительное, значит, выражение имеет смысл.

4. $$(-25)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{(-25)^{\frac{1}{2}}}$$

   Здесь требуется квадратный корень из отрицательного числа, а он не определён в множестве действительных чисел. Значит, выражение не имеет смысла.

Ответ: а) имеет; б) имеет; в) имеет; г) не имеет.