Упр.36.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\frac{x\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[3]{x^2}-1}-\frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}=4$$.

а) Обозначим $$y=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x^2}=y^2,$$ и уравнение принимает вид

$$\frac{xy-1}{y^2-1}-\frac{y^2-1}{y+1}=4.$$

Так как $$x=y^3,$$ то $$xy-1=y^4-1=(y^2-1)(y^2+1).$$ Поэтому

$$\frac{xy-1}{y^2-1}=y^2+1,$$

а также

$$\frac{y^2-1}{y+1}=y-1.$$

Тогда

$$y^2+1-(y-1)=4,$$

$$y^2-y-2=0,$$

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)=0.$$

Отсюда $$y=2$$ или $$y=-1.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\sqrt[3]{x}=2 \Rightarrow x=8,$$

$$\sqrt[3]{x}=-1 \Rightarrow x=-1.$$

Но при $$x=-1$$ знаменатель $$\sqrt[3]{x}+1=0,$$ значит, это значение не подходит.

Ответ: $$8$$.

б) Обозначим $$y=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x^2}=y^2,$$ и уравнение перепишется так:

$$\frac{x+8}{y+2}+\frac{y^2-25}{y+5}=5.$$

Так как $$x=y^3,$$ то

$$x+8=y^3+8=(y+2)(y^2-2y+4),$$

$$y^2-25=(y-5)(y+5).$$

Следовательно,

$$\frac{x+8}{y+2}=y^2-2y+4,$$

$$\frac{y^2-25}{y+5}=y-5.$$

Тогда

$$y^2-2y+4+y-5=5,$$

$$y^2-y-6=0,$$

$$\left(y-3\right)\left(y+2\right)=0.$$

Отсюда $$y=3$$ или $$y=-2.$$

Возвращаясь к $$x$$, получаем:

$$\sqrt[3]{x}=3 \Rightarrow x=27,$$

$$\sqrt[3]{x}=-2 \Rightarrow x=-8.$$

Но при $$x=-8$$ знаменатель $$\sqrt[3]{x}+2=0,$$ значит, это значение не подходит.

Ответ: $$27$$.