Упр.36.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

а) $$\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$

Преобразуем корни:

$$\sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}=\frac{\sqrt[4]{b^2}}{\sqrt[4]{a}}=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}, \qquad \sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}=a\sqrt{b}.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}}=\frac{a\sqrt{b}}{(a+b)\cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}}}=\frac{a}{a+b}.$$

Кроме того,

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Следовательно,

$$\frac{a}{a+b}-\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a(a-b)-(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)}.$$

Упростим числитель:

$$a(a-b)-(a^2+b^2)=a^2-ab-a^2-b^2=-ab-b^2=-b(a+b).$$

Тогда

$$\frac{-b(a+b)}{(a-b)(a+b)}=-\frac{b}{a-b}=\frac{b}{b-a}.$$

б) $$\frac{\left(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n}\right)^2+\left(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}\right)^2}{2(m-n)}:\frac{1}{\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}}-3\sqrt{mn}$$

Раскроем скобки в числителе первой дроби:

$$\left(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n}\right)^2+\left(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}\right)^2=2\sqrt{m}+2\sqrt{n}.$$

Тогда

$$\frac{2\sqrt{m}+2\sqrt{n}}{2(m-n)}:\frac{1}{\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}}-3\sqrt{mn}$$

$$=\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{m-n}\cdot \left(\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}\right)-3\sqrt{mn}.$$

Представим разность кубических корней:

$$\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}=m\sqrt{m}-n\sqrt{n}=(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n).$$

А также

$$m-n=(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n}).$$

Подставим:

$$\frac{\sqrt{m}+\sqrt{n}}{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}\cdot (\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)-3\sqrt{mn}.$$

Сокращаем:

$$m+\sqrt{mn}+n-3\sqrt{mn}=m+n-2\sqrt{mn}=(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2.$$

Ответ

а) $$\frac{b}{b-a}$$

б) $$\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)^2$$