Упр.36.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите значение выражения:

а) $$\frac{4-\sqrt[3]{2}}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2}$$;

б) $$\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt{3}}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}$$.

1. $$\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2}$$

   Так как $$\sqrt[4]{8}=\sqrt[4]{2\cdot 4}=\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt2,$$ то

   $$\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2 = \left(\sqrt[4]{2}\right)^2+\left(\sqrt[4]{8}\right)^2-2\sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt2+\sqrt8-2\sqrt[4]{16}$$

   $$=\sqrt2+2\sqrt2-2\cdot 2=3\sqrt2-4$$

   Тогда
   $$\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2} = \frac{4-3\sqrt2}{3\sqrt2-4} = -1.$$

2. $$\frac{\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}$$

   Раскроем квадрат в числителе:
   $$\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2 = \sqrt[3]{81}+2\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt3+3.$$

   Так как $$\sqrt[3]{81}=3\sqrt[3]{3},$$ а $$\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt3=\sqrt[3]{27}=3,$$ получаем:
   $$\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2 = 3\sqrt[3]{3}+6+3 = 3\left(\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1\right).$$

   Тогда
   $$\frac{\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}=3.$$

3. $$\frac{\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt3+3\sqrt6}$$

   Вынесем общий множитель в числителе:
   $$\sqrt[4]{24}=\sqrt[4]{4\cdot 6}=\sqrt2\,\sqrt[4]{6},$$
   значит
   $$\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2 = \left(\sqrt[4]{6}(\sqrt2+1)\right)^2 = \sqrt6\,(\sqrt2+1)^2.$$

   Тогда
   $$\frac{\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt3+3\sqrt6} = \frac{\sqrt6(\sqrt2+1)^2}{\sqrt3(4+3\sqrt2)}.$$

   Так как
   $$(\sqrt2+1)^2=3+2\sqrt2,$$
   а
   $$\sqrt6=\sqrt2\cdot \sqrt3,$$
   то
   $$\frac{\sqrt6(\sqrt2+1)^2}{\sqrt3(4+3\sqrt2)} = \frac{\sqrt2(3+2\sqrt2)}{4+3\sqrt2} = \frac{3\sqrt2+4}{4+3\sqrt2} = 1.$$

4. $$\frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5}{\left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2}$$

   Заметим, что
   $$\sqrt[4]{45}=\sqrt[4]{9\cdot 5}=\sqrt3\,\sqrt[4]{5}.$$
   Тогда
   $$\left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2 = \left(\sqrt3-\sqrt3\,\sqrt[4]{5}\right)^2 = 3\left(1-\sqrt[4]{5}\right)^2.$$

   А числитель:
   $$1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5 = \left(1-\sqrt[4]{5}\right)^2.$$

   Следовательно,
   $$\frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5}{\left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2} = \frac{\left(1-\sqrt[4]{5}\right)^2}{3\left(1-\sqrt[4]{5}\right)^2} = \frac13.$$

Ответ: а) $$-1$$; б) $$3$$; в) $$1$$; г) $$\frac13$$.