Упр.36.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Расположите числа в порядке возрастания:
   а) $$\sqrt{3\sqrt[3]{4}}$$, $$\sqrt[3]{5\sqrt{3}}$$ и $$\sqrt[6]{100}$$;
   б) $$\sqrt[5]{4}$$, $$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}$$ и $$\sqrt[10]{25}$$;
   в) $$\sqrt[5]{3\sqrt{4}}$$, $$\sqrt[3]{2}$$ и $$\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}$$;
   г) $$\sqrt[16]{64}$$, $$\sqrt[48]{7\sqrt[7]{7}}$$ и $$\sqrt[4]{2\sqrt{1{,}25}}$$.

а) Преобразуем выражения к корням одной степени:

$$\sqrt{3\sqrt[3]{4}}=\sqrt[6]{3^2\cdot 3^3\cdot 4}=\sqrt[6]{108},$$

$$\sqrt[3]{5\sqrt{3}}=\sqrt[6]{5^2\cdot 3}=\sqrt[6]{75},$$

$$\sqrt[6]{100}=\sqrt[6]{100}.$$

Так как $$75<100<108,$$ то

$$\sqrt[3]{5\sqrt{3}}<\sqrt[6]{100}<\sqrt{3\sqrt[3]{4}}.$$

б) Преобразуем к корням одной степени:

$$\sqrt[5]{4}=\sqrt[10]{4^2}=\sqrt[10]{16},$$

$$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}=\sqrt[6]{3\cdot 3^{1/5}}=\sqrt[30]{3^6\cdot 3}= \sqrt[30]{3^7},$$

$$\sqrt[10]{25}=\sqrt[10]{25}.$$

Удобнее сравнить исходные значения через степени:

$$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}=\sqrt[5]{3}, \qquad \sqrt[10]{25}=\sqrt[5]{5},$$

поэтому $$3<4<5,$$ и получаем

$$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}<\sqrt[5]{4}<\sqrt[10]{25}.$$

в) Преобразуем:

$$\sqrt[5]{3\sqrt{4}}=\sqrt[5]{6},$$

$$\sqrt[3]{2}=\sqrt[15]{2^5}=\sqrt[15]{32},$$

$$\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}=\sqrt[15]{2^6}=\sqrt[15]{64}.$$

Так как $$32<64<6^3=216,$$ то

$$\sqrt[3]{2}<\sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}}<\sqrt[5]{3\sqrt{4}}.$$

г) Преобразуем к удобному виду:

$$\sqrt[16]{64}=\sqrt[32]{64^2}=\sqrt[32]{4096},$$

$$\sqrt[48]{7\sqrt{7}}=\sqrt[48]{7^{3/2}}=\sqrt[32]{7},$$

$$\sqrt[4]{2\sqrt{1{,}25}}=\sqrt[4]{2\cdot \sqrt{\frac54}}=\sqrt[8]{5}.$$

Сравним значения:

$$\sqrt[32]{7}<\sqrt[8]{5}<\sqrt[32]{4096},$$

значит

$$\sqrt[48]{7\sqrt{7}}<\sqrt[4]{2\sqrt{1{,}25}}<\sqrt[16]{64}.$$

Ответ

а) $$\sqrt[3]{5\sqrt{3}},\ \sqrt[6]{100},\ \sqrt{3\sqrt[3]{4}}$$

б) $$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}},\ \sqrt[5]{4},\ \sqrt[10]{25}$$

в) $$\sqrt[3]{2},\ \sqrt[3]{2\sqrt[5]{2}},\ \sqrt[5]{3\sqrt{4}}$$

г) $$\sqrt[48]{7\sqrt{7}},\ \sqrt[4]{2\sqrt{1{,}25}},\ \sqrt[16]{64}$$