Упр.36.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}$$
• б) $$\frac{\sqrt[5]{x^9}-1}{\sqrt[5]{x^3}-1}$$
• в) $$\frac{\sqrt{b}-a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}$$
• г) $$\frac{\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}}$$

Сократим дроби, считая, что переменные принимают неотрицательные значения.

1. $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}}$$

   Представим числитель как разность кубов:

   $$\sqrt{a}=\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{a}, \qquad \sqrt[3]{b^2}=\sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[3]{b}.$$

   Тогда

   $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b})}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}} = \sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}.$$

2. $$\frac{\sqrt[5]{x^9}-1}{\sqrt[5]{x^3}-1}$$

   Положим $$t=\sqrt[5]{x^3}.$$ Тогда $$\sqrt[5]{x^9}=t^3,$$ и получаем:

   $$\frac{t^3-1}{t-1} = \frac{(t-1)(t^2+t+1)}{t-1} = t^2+t+1.$$

   Возвращаясь к $$x$$, имеем

   $$t^2=\sqrt[5]{x^6}=x\sqrt[5]{x}, \qquad t=\sqrt[5]{x^3}.$$

   Следовательно,

   $$x\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{x^3}+1.$$

3. $$\frac{\sqrt{b}-a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}}$$

   Заметим, что

   $$\sqrt{b}=(\sqrt[4]{b})^2,\qquad a^3=(a\sqrt{a})^2.$$

   Тогда

   $$\frac{\sqrt{b}-a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{b}-a\sqrt{a})(\sqrt[4]{b}+a\sqrt{a})}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{b}-a\sqrt{a}.$$

4. $$\frac{\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}}$$

   Представим числитель как разность кубов:

   $$\sqrt{a}=(\sqrt[6]{a})^3,\qquad b\sqrt{b}=(\sqrt[6]{b})^3.$$

   Тогда

   $$\frac{\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt[6]{a}-\sqrt{b})\bigl((\sqrt[6]{a})^2+\sqrt[6]{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2\bigr)}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}}.$$

   После сокращения получаем

   $$(\sqrt[6]{a})^2+\sqrt[6]{a}\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2 = \sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab^3}+b.$$

Ответ: а) $$\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}$$; б) $$x\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{x^3}+1$$; в) $$\sqrt[4]{b}-a\sqrt{a}$$; г) $$\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab^3}+b$$.