Упр.35.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{x}=0$$;
   б) $$\sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}+6=0$$;
   в) $$\sqrt[6]{x}+2\sqrt[3]{x}-1=0$$;
   г) $$\sqrt[4]{x}+2\sqrt[8]{x}-3=0$$.

а) $$\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{x}=0$$

Представим $$\sqrt[3]{x}$$ как $$\left(\sqrt[6]{x}\right)^2$$:

$$\left(\sqrt[6]{x}\right)^2-2\sqrt[6]{x}=0$$

$$\sqrt[6]{x}\left(\sqrt[6]{x}-2\right)=0$$

Отсюда:

$$\sqrt[6]{x}=0 \quad \text{или} \quad \sqrt[6]{x}=2$$

Тогда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=64$$

б) $$\sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}+6=0$$

Пусть $$y=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=y^2$$. Получаем:

$$y^2-5y+6=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$

$$y=2 \quad \text{или} \quad y=3$$

Тогда

$$\sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=16$$

$$\sqrt[4]{x}=3 \Rightarrow x=81$$

в) $$\sqrt[6]{x}+2\sqrt[3]{x}-1=0$$

Пусть $$y=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=y^2$$. Получаем:

$$2y^2+y-1=0$$

$$D=1+8=9$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$

$$y_1=-1,\quad y_2=\frac12$$

Так как $$\sqrt[6]{x}\ge 0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Значит,

$$\sqrt[6]{x}=\frac12 \Rightarrow x=\frac{1}{64}$$

г) $$\sqrt[4]{x}+2\sqrt[8]{x}-3=0$$

Пусть $$y=\sqrt[8]{x}$$, тогда $$\sqrt[4]{x}=y^2$$. Получаем:

$$y^2+2y-3=0$$

$$\left(y+3\right)\left(y-1\right)=0$$

$$y=-3 \quad \text{или} \quad y=1$$

Так как $$\sqrt[8]{x}\ge 0$$, значение $$y=-3$$ не подходит. Значит,

$$\sqrt[8]{x}=1 \Rightarrow x=1$$

Ответ

а) $$0; 64$$

б) $$16; 81$$

в) $$\frac{1}{64}$$

г) $$1$$