Упр.34.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите точки пересечения графиков функций: а) $$y=\sqrt[4]{x}$$ и $$y=x^2$$; б) $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=|x|$$; в) $$y=\sqrt[6]{x}$$ и $$y=x$$; г) $$y=\sqrt[5]{x}$$ и $$y=-x-2$$.

Подробный ответ

Найдём точки пересечения графиков, приравнивая правые части функций.

$$\sqrt[4]{x}=x^2$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Возведём обе части в четвёртую степень:
$$x=(x^2)^4=x^8$$
$$x^8-x=0$$
$$x(x^7-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
Тогда $$y=0$$ и $$y=1$$ соответственно.
Точки пересечения: $$(0;0),\ (1;1).$$
$$\sqrt[3]{x}=|x|$$
Проверим возможные значения.
При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда
$$\sqrt[3]{x}=x$$
$$x=x^3$$
$$x(x^2-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, но $$\sqrt[3]{x}<0$$, поэтому равенство возможно только при $$x=0$$, что уже найдено.
Точки пересечения: $$(0;0),\ (1;1).$$
$$\sqrt[6]{x}=x$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Возведём обе части в шестую степень:
$$x=x^6$$
$$x^6-x=0$$
$$x(x^5-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=1$$
Тогда $$y=0$$ и $$y=1$$.
Точки пересечения: $$(0;0),\ (1;1).$$
$$\sqrt[5]{x}=-x-2$$
Проверим значение $$x=-1$$:
$$\sqrt[5]{-1}=-1,\qquad -(-1)-2=-1$$
Значит, $$(-1;-1)$$ — точка пересечения.
Других точек пересечения нет.