Упр.34.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\sqrt[5]{x}$$:

а) на отрезке $$[-1; 1]$$;

б) на луче $$(-\infty; 1]$$;

в) на отрезке $$[-32; 32]$$;

г) на луче $$[2; +\infty)$$.

Функция $$y=\sqrt[5]{x}$$ определена при всех $$x\in\mathbb{R}$$ и является возрастающей на всей области определения. Поэтому на отрезке наименьшее значение достигается в левом конце, а наибольшее — в правом.

а)

На отрезке $$[-1;1]$$:

$$y(-1)=\sqrt[5]{-1}=-1,$$
$$y(1)=\sqrt[5]{1}=1.$$

Ответ: $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=1.$$

б)

На луче $$(-\infty;1]$$ функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

$$y(1)=\sqrt[5]{1}=1.$$

Наименьшего значения нет, так как при $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to -\infty$$.

Ответ: $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=1.$$

в)

На отрезке $$[-32;32]$$:

$$y(-32)=\sqrt[5]{-32}=-2,$$
$$y(32)=\sqrt[5]{32}=2.$$

Ответ: $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=2.$$

г)

На луче $$[2;+\infty)$$ функция возрастает, значит наименьшее значение достигается при $$x=2$$:

$$y(2)=\sqrt[5]{2}.$$

Наибольшего значения нет, так как при $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to +\infty$$.

Ответ: $$y_{\min}=\sqrt[5]{2},\quad y_{\max}$$ не существует.