Упр.34.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\sqrt[4]{x}$$: а) на отрезке $$[0;1]$$; б) на полуинтервале $$[1;3)$$; в) на отрезке $$[5;16]$$; г) на луче $$[16;+\infty)$$.
Функция $$y=\sqrt[4]{x}$$ определена при $$x\ge 0$$ и на всей области определения возрастает, так как
$$y’=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}>0.$$
а) На отрезке $$[0;1]$$
Так как функция возрастает, то
$$y_{\min}=y(0)=\sqrt[4]{0}=0,$$
$$y_{\max}=y(1)=\sqrt[4]{1}=1.$$
б) На полуинтервале $$[1;3)$$
Минимум достигается в левой границе:
$$y_{\min}=y(1)=\sqrt[4]{1}=1.$$
Наибольшее значение не достигается, так как точка $$x=3$$ не входит в промежуток, а при $$x\to 3-0$$ значение функции стремится к $$\sqrt[4]{3}$$.
Следовательно, $$y_{\max}$$ не существует.
в) На отрезке $$[5;16]$$
Так как функция возрастает, то
$$y_{\min}=y(5)=\sqrt[4]{5},$$
$$y_{\max}=y(16)=\sqrt[4]{16}=2.$$
г) На луче $$[16;+\infty)$$
Минимум достигается в начале луча:
$$y_{\min}=y(16)=\sqrt[4]{16}=2.$$
Наибольшего значения нет, так как при $$x\to +\infty$$ функция неограниченно возрастает.
Ответ: а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=\sqrt[4]{5},\ y_{\max}=2$$; г) $$y_{\min}=2,\ y_{\max}$$ не существует.
