Упр.34.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите наименьшее значение функции:

а) $$y=\sqrt[4]{x^2-6x+8}$$;

б) $$y=\sqrt[6]{x^2+6x+10}$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt[4]{x^2-6x+8}.$$

Так как корень четвёртой степени — возрастающая функция, то наименьшее значение $$y$$ достигается там, где минимально подкоренное выражение.

Преобразуем его:

$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$

Парабола $$x^2-6x+8$$ направлена ветвями вверх, значит, её минимум достигается в вершине:

$$x=\frac{6}{2}=3.$$

Найдём значение подкоренного выражения в этой точке:

$$3^2-6\cdot 3+8=9-18+8=-1.$$

Но подкоренное выражение для корня четвёртой степени не может быть отрицательным, поэтому минимальное допустимое значение достигается при $$x=2$$ или $$x=4$$, где

$$x^2-6x+8=0.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=\sqrt[4]{0}=0.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt[6]{x^2+6x+10}.$$

Корень шестой степени также является возрастающей функцией, значит, нужно найти минимум подкоренного выражения.

Преобразуем квадратный трёхчлен:

$$x^2+6x+10=(x+3)^2+1.$$

Так как $$\left(x+3\right)^2\ge 0$$, то

$$x^2+6x+10\ge 1,$$

и равенство достигается при $$x=-3.$$

Тогда

$$y_{\min}=\sqrt[6]{1}=1.$$