Упр.34.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$y=\sqrt[4]{(2x-5)(4x+8)}+\frac{\sqrt{x^2+2x-3}}{x-3}$$; б) $$y=\frac{\sqrt[6]{x^2-5x}}{2x+2}-\sqrt{(2x+3)(x-4)}$$.

а) Для существования функции нужно, чтобы были определены оба выражения:

$$\sqrt[4]{\frac{2x-5}{4x+8}}$$

и

$$\frac{\sqrt{x^2+2x-3}}{x-3}.$$

Тогда должны выполняться условия:

$$\frac{2x-5}{4x+8}\ge 0,\qquad x^2+2x-3\ge 0,\qquad x\ne 3.$$

Решим неравенства.

$$\frac{2x-5}{4x+8}\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\in(-\infty,-2)\cup\left[\frac52,+\infty\right).$$

$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty).$$

С учётом условия $$x\ne 3$$ получаем пересечение множеств:

$$D(y)=(-\infty,-3]\cup\left[\frac52,3\right)\cup(3,+\infty).$$

б) Для существования функции нужно, чтобы были определены оба выражения:

$$\frac{\sqrt[6]{x^2-5x}}{2x+2}$$

и

$$\sqrt{\frac{2x+3}{x-4}}.$$

Тогда должны выполняться условия:

$$x^2-5x\ge 0,\qquad 2x+2\ne 0,\qquad \frac{2x+3}{x-4}\ge 0.$$

Решим неравенства.

$$x^2-5x=x(x-5)\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\in(-\infty,0]\cup[5,+\infty).$$

$$2x+2\ne 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\ne -1.$$

$$\frac{2x+3}{x-4}\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x\in\left(-\infty,-\frac32\right]\cup(4,+\infty).$$

Пересекаем все условия:

$$D(y)=(-\infty,-\tfrac32]\cup[5,+\infty).$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty,-3]\cup\left[\frac52,3\right)\cup(3,+\infty).$$

б) $$D(y)=(-\infty,-\frac32]\cup[5,+\infty).$$