Упр.34.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Определите число решений системы уравнений:

а) $$\begin{cases} y=\sqrt[4]{x},\\ 3x-3y=6; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} y=\sqrt[3]{x},\\ 3y-4x=0; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} y=\sqrt[5]{x},\\ 6-2x-3y=0; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} y=\sqrt[6]{x},\\ 5+x-2y=0. \end{cases}$$

Рассмотрим каждую систему как пересечение графиков функций.

1. $$y=\sqrt[4]{x}, \quad 2x-3y=6$$

   Второе уравнение преобразуем к виду:

   $$2x-3y=6 \Rightarrow 3y=2x-6 \Rightarrow y=\frac{2}{3}x-2.$$

   Графики функции $$y=\sqrt[4]{x}$$ и прямой $$y=\frac{2}{3}x-2$$ пересекаются в одной точке, значит система имеет одно решение.

2. $$y=\sqrt[3]{x}, \quad 3y-4x=0$$

   Преобразуем второе уравнение:

   $$3y-4x=0 \Rightarrow 3y=4x \Rightarrow y=\frac{4}{3}x.$$

   Графики функции $$y=\sqrt[3]{x}$$ и прямой $$y=\frac{4}{3}x$$ пересекаются в трёх точках, значит система имеет три решения.

3. $$y=\sqrt[5]{x}, \quad 6-2x-3y=0$$

   Преобразуем второе уравнение:

   $$6-2x-3y=0 \Rightarrow 3y=6-2x \Rightarrow y=2-\frac{2}{3}x.$$

   Графики функции $$y=\sqrt[5]{x}$$ и прямой $$y=2-\frac{2}{3}x$$ пересекаются в одной точке, значит система имеет одно решение.

4. $$y=\sqrt[6]{x}, \quad 5+x-2y=0$$

   Преобразуем второе уравнение:

   $$5+x-2y=0 \Rightarrow 2y=x+5 \Rightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}.$$

   Графики функции $$y=\sqrt[6]{x}$$ и прямой $$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$$ не пересекаются, значит система не имеет решений.

Ответ: а) одно решение; б) три решения; в) одно решение; г) решений нет.