Упр.33.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Проверим каждое равенство, используя формулу $$\sqrt{a^2-2ab+b^2}=|a-b|.$$

1. $$\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3.$$

   Так как $$7-4\sqrt3=4-4\sqrt3+3=2^2-2\cdot2\cdot\sqrt3+(\sqrt3)^2=(2-\sqrt3)^2,$$ то

   $$\sqrt{7-4\sqrt3}=\sqrt{(2-\sqrt3)^2}=|2-\sqrt3|.$$

   Поскольку $$2>\sqrt3,$$ имеем $$|2-\sqrt3|=2-\sqrt3.$$ Значит, равенство верно.

2. $$\sqrt{14-6\sqrt5}=\sqrt5-3.$$

   Левая часть неотрицательна, а правая:

   $$\sqrt5-3<0,$$

   так как $$\sqrt5<3.$$ Следовательно, равенство неверно.

3. $$\sqrt{7-4\sqrt3}=\sqrt3-2.$$

   Левая часть неотрицательна, а правая:

   $$\sqrt3-2<0,$$

   так как $$\sqrt3<2.$$ Значит, равенство неверно.

4. $$\sqrt{15-6\sqrt6}=3-\sqrt6.$$

   Заметим, что

   $$15-6\sqrt6=9-6\sqrt6+6=3^2-2\cdot3\cdot\sqrt6+(\sqrt6)^2=(3-\sqrt6)^2.$$

   Тогда

   $$\sqrt{15-6\sqrt6}=\sqrt{(3-\sqrt6)^2}=|3-\sqrt6|.$$

   Так как $$3>\sqrt6,$$ то $$|3-\sqrt6|=3-\sqrt6.$$ Следовательно, равенство верно.

Ответ: а) верно; б) неверно; в) неверно; г) верно.