Упр.32.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^3+3x^2-45x-2$$ на отрезке: а) $$[-6; 0]$$; б) $$[1; 2]$$; в) $$[-6; -1]$$; г) $$[0; 2]$$.

Найдём производную функции $$y=x^3+3x^2-45x-2.$$

$$y’ = 3x^2+6x-45 = 3(x^2+2x-15)=3(x+5)(x-3).$$

Стационарные точки: $$x=-5$$ и $$x=3.$$

а) $$[-6;0]$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке, которая принадлежит отрезку:

$$\begin{aligned} y(-6)&=(-6)^3+3(-6)^2-45(-6)-2= -216+108+270-2=160,\\ y(-5)&=(-5)^3+3(-5)^2-45(-5)-2= -125+75+225-2=173,\\ y(0)&=0^3+3\cdot 0^2-45\cdot 0-2=-2. \end{aligned}$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=173.$$

б) $$[1;2]$$

Стационарные точки $$-5$$ и $$3$$ не принадлежат отрезку, поэтому вычислим значения на концах:

$$\begin{aligned} y(1)&=1^3+3\cdot 1^2-45\cdot 1-2=1+3-45-2=-43,\\ y(2)&=2^3+3\cdot 2^2-45\cdot 2-2=8+12-90-2=-72. \end{aligned}$$

Следовательно, $$y_{\min}=-72,$$ $$y_{\max}=-43.$$

в) $$[-6;-1]$$

Проверим значения в концах отрезка и в точке $$x=-5$$:

$$\begin{aligned} y(-6)&=160,\\ y(-5)&=173,\\ y(-1)&=(-1)^3+3(-1)^2-45(-1)-2=-1+3+45-2=45. \end{aligned}$$

Следовательно, $$y_{\min}=45,$$ $$y_{\max}=173.$$

г) $$[0;2]$$

Проверим значения в концах отрезка:

$$\begin{aligned} y(0)&=-2,\\ y(2)&=-72. \end{aligned}$$

Следовательно, $$y_{\min}=-72,$$ $$y_{\max}=-2.$$

Ответ: а) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=173$$; б) $$y_{\min}=-72,$$ $$y_{\max}=-43$$; в) $$y_{\min}=45,$$ $$y_{\max}=173$$; г) $$y_{\min}=-72,$$ $$y_{\max}=-2$$.