Упр.32.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=x^3-9x^2+24x-1$$ на отрезке: а) $$[-1;3]$$; б) $$[3;6]$$; в) $$[-2;3]$$; г) $$[3;5]$$.

Найдём производную функции:

$$y’=(x^3-9x^2+24x-1)’=3x^2-18x+24=3(x^2-6x+8)=3(x-2)(x-4).$$

Критические точки: $$x=2$$ и $$x=4.$$

а) $$[-1;3]$$

На отрезке $$[-1;3]$$ лежит только точка $$x=2.$$ Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(-1)=(-1)^3-9(-1)^2+24(-1)-1=-1-9-24-1=-35,$$

$$y(2)=2^3-9\cdot2^2+24\cdot2-1=8-36+48-1=19,$$

$$y(3)=3^3-9\cdot3^2+24\cdot3-1=27-81+72-1=17.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-35,$$ $$y_{\max}=19.$$

б) $$[3;6]$$

На отрезке $$[3;6]$$ лежит точка $$x=4.$$ Найдём значения функции в точках $$3,4,6$$:

$$y(3)=17,$$

$$y(4)=4^3-9\cdot4^2+24\cdot4-1=64-144+96-1=15,$$

$$y(6)=6^3-9\cdot6^2+24\cdot6-1=216-324+144-1=35.$$

Следовательно, $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=35.$$

в) $$[-2;3]$$

На отрезке $$[-2;3]$$ лежит точка $$x=2.$$ Проверим значения в точках $$-2,2,3$$:

$$y(-2)=(-2)^3-9(-2)^2+24(-2)-1=-8-36-48-1=-93,$$

$$y(2)=19,$$

$$y(3)=17.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-93,$$ $$y_{\max}=19.$$

г) $$[3;5]$$

На отрезке $$[3;5]$$ лежит точка $$x=4.$$ Найдём значения функции в точках $$3,4,5$$:

$$y(3)=17,$$

$$y(4)=15,$$

$$y(5)=5^3-9\cdot5^2+24\cdot5-1=125-225+120-1=19.$$

Следовательно, $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=19.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-35,$$ $$y_{\max}=19$$; б) $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=35$$; в) $$y_{\min}=-93,$$ $$y_{\max}=19$$; г) $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=19$$.