Упр.32.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\sin x$$ на отрезке: а) $$[0;\frac{2\pi}{3}]$$; б) $$[2\pi;\frac{8\pi}{3}]$$; в) $$[-2\pi;-\frac{4\pi}{3}]$$; г) $$[6\pi;\frac{26\pi}{3}]$$.
Для функции $$y=\sin x$$ на отрезке находим значения в концах отрезка и в стационарных точках, где
$$y’=(\sin x)’=\cos x,$$
$$\cos x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$
а) $$\left[0;\frac{2\pi}{3}\right]$$
Стационарная точка на отрезке: $$x=\frac{\pi}{2}.$$
Вычислим значения функции:
$$\sin 0=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
б) $$\left[2\pi;\frac{8\pi}{3}\right]$$
Стационарная точка на отрезке: $$x=\frac{5\pi}{2}.$$
Вычислим значения функции:
$$\sin 2\pi=0,\qquad \sin\frac{5\pi}{2}=1,\qquad \sin\frac{8\pi}{3}=\sin\left(2\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
в) $$\left[-2\pi;-\frac{4\pi}{3}\right]$$
Стационарная точка на отрезке: $$x=-\frac{3\pi}{2}.$$
Вычислим значения функции:
$$\sin(-2\pi)=0,\qquad \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1,\qquad \sin\left(-\frac{4\pi}{3}\right)=\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
г) $$\left[6\pi;\frac{26\pi}{3}\right]$$
Стационарные точки на отрезке: $$x=\frac{13\pi}{2},\ \frac{15\pi}{2},\ \frac{17\pi}{2}.$$
Вычислим значения функции:
$$\sin 6\pi=0,\qquad \sin\frac{13\pi}{2}=1,\qquad \sin\frac{15\pi}{2}=-1,\qquad \sin\frac{17\pi}{2}=1,\qquad \sin\frac{26\pi}{3}=\sin\left(8\pi+\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1.$$
Ответ
а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; г) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$.
