Упр.32.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=x^2-8x+19$$, $$[-1;5]$$; б) $$y=x^2+4x-3$$, $$[0;2]$$; в) $$y=2x^2-8x+6$$, $$[-1;4]$$; г) $$y=-3x^2+6x-10$$, $$[-2;9]$$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке достаточно вычислить значения функции в концах отрезка и в стационарной точке, если она принадлежит этому отрезку.

а)

$$y=x^2-8x+19,\quad x\in[-1;5]$$

$$y'(x)=2x-8$$

$$2x-8=0,\quad x=4$$

Вычислим значения функции:

$$y(-1)=(-1)^2-8\cdot(-1)+19=1+8+19=28$$

$$y(4)=4^2-8\cdot4+19=16-32+19=3$$

$$y(5)=5^2-8\cdot5+19=25-40+19=4$$

Следовательно, $$y_{\min}=3,$$ $$y_{\max}=28.$$

б)

$$y=x^2+4x-3,\quad x\in[0;2]$$

$$y'(x)=2x+4$$

$$2x+4=0,\quad x=-2$$

Точка $$x=-2$$ не принадлежит отрезку $$[0;2]$$, значит, достаточно проверить концы отрезка:

$$y(0)=0^2+4\cdot0-3=-3$$

$$y(2)=2^2+4\cdot2-3=4+8-3=9$$

Следовательно, $$y_{\min}=-3,$$ $$y_{\max}=9.$$

в)

$$y=2x^2-8x+6,\quad x\in[-1;4]$$

$$y'(x)=4x-8$$

$$4x-8=0,\quad x=2$$

Вычислим значения функции:

$$y(-1)=2\cdot(-1)^2-8\cdot(-1)+6=2+8+6=16$$

$$y(2)=2\cdot2^2-8\cdot2+6=8-16+6=-2$$

$$y(4)=2\cdot4^2-8\cdot4+6=32-32+6=6$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=16.$$

г)

$$y=-3x^2+6x-10,\quad x\in[-2;9]$$

$$y'(x)=-6x+6=-6(x-1)$$

$$-6(x-1)=0,\quad x=1$$

Вычислим значения функции:

$$y(-2)=-3\cdot(-2)^2+6\cdot(-2)-10=-12-12-10=-34$$

$$y(1)=-3\cdot1^2+6\cdot1-10=-3+6-10=-7$$

$$y(9)=-3\cdot9^2+6\cdot9-10=-243+54-10=-199$$

Следовательно, $$y_{\min}=-199,$$ $$y_{\max}=-7.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=3,$$ $$y_{\max}=28$$; б) $$y_{\min}=-3,$$ $$y_{\max}=9$$; в) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=16$$; г) $$y_{\min}=-199,$$ $$y_{\max}=-7$$.