Упр.32.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке достаточно сравнить значения функции в концах отрезка и в стационарных точках, лежащих внутри отрезка.

а)

$$y=12x^4,\quad x\in[-1;2]$$

Найдём производную:

$$y’=(12x^4)’=48x^3.$$

Стационарная точка:

$$48x^3=0 \Rightarrow x=0.$$

Вычислим значения функции:

$$y(-1)=12\cdot(-1)^4=12,$$

$$y(0)=12\cdot0^4=0,$$

$$y(2)=12\cdot2^4=12\cdot16=192.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=192.$$

б)

$$y=-6x^5,\quad x\in[0{,}1;2]$$

Найдём производную:

$$y’=(-6x^5)’=-30x^4\le 0.$$

Значит, функция убывает на всём отрезке.

Тогда наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:

$$y(0{,}1)=-6\cdot(0{,}1)^5=-6\cdot0{,}00001=-0{,}00006,$$

$$y(2)=-6\cdot2^5=-6\cdot32=-192.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=-192,\qquad y_{\max}=-0{,}00006.$$

в)

$$y=-3x^7,\quad x\in[0;1]$$

Найдём производную:

$$y’=(-3x^7)’=-21x^6\le 0.$$

Значит, функция убывает на всём отрезке.

Вычислим значения на концах отрезка:

$$y(0)=-3\cdot0^7=0,$$

$$y(1)=-3\cdot1^7=-3.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=-3,\qquad y_{\max}=0.$$

г)

$$y=\frac{1}{9}x^4,\quad x\in[-1;3]$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{1}{9}x^4\right)’=\frac{4}{9}x^3.$$

Стационарная точка:

$$\frac{4}{9}x^3=0 \Rightarrow x=0.$$

Вычислим значения функции:

$$y(-1)=\frac{1}{9}\cdot(-1)^4=\frac{1}{9},$$

$$y(0)=\frac{1}{9}\cdot0^4=0,$$

$$y(3)=\frac{1}{9}\cdot3^4=\frac{81}{9}=9.$$

Следовательно,

$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=9.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=192$$; б) $$y_{\min}=-192,\ y_{\max}=-0{,}00006$$; в) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=0$$; г) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=9$$.