Упр.32.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. База находится в лесу в $$5\ \text{км}$$ от дороги, а в $$13\ \text{км}$$ от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идёт со скоростью $$5\ \text{км/ч}$$, а по лесу — $$3\ \text{км/ч}$$. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?

Обозначим через $$x$$ расстояние по дороге от точки, где пешеход выйдет из леса, до станции. Тогда от базы до дороги расстояние равно

$$\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\text{ км}.$$

Значит, если пешеход проходит по дороге $$x$$ км, то по лесу он идёт от базы до точки выхода на дорогу, и длина этого пути равна

$$\sqrt{5^2+(12-x)^2}=\sqrt{25+(12-x)^2}.$$

Время движения:

$$t(x)=\frac{x}{5}+\frac{\sqrt{25+(12-x)^2}}{3}.$$

Найдём минимум этой функции:

$$t'(x)=\frac15-\frac{12-x}{3\sqrt{25+(12-x)^2}}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac15=\frac{12-x}{3\sqrt{25+(12-x)^2}}.$$

Отсюда

$$3\sqrt{25+(12-x)^2}=5(12-x).$$

Возведём в квадрат:

$$9\bigl(25+(12-x)^2\bigr)=25(12-x)^2,$$

$$225=16(12-x)^2,$$

$$12-x=\frac{15}{4}.$$

Тогда

$$x=12-\frac{15}{4}=\frac{33}{4}\text{ км}.$$

Найдём минимальное время:

$$t_{\min}=\frac{33/4}{5}+\frac{\sqrt{25+(15/4)^2}}{3} =\frac{33}{20}+\frac{\sqrt{625/16}}{3} =\frac{33}{20}+\frac{25}{12}.$$

$$t_{\min}=\frac{99}{60}+\frac{125}{60}=\frac{224}{60}=\frac{56}{15}\text{ ч}=3\text{ ч }44\text{ мин}.$$

Ответ

$$3\text{ ч }44\text{ мин}.$$