Упр.32.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошёл человек. Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на $$a$$ м, а верхняя точка постамента — на $$b$$ м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Обозначим через $$x$$ расстояние от человека до памятника. Тогда углы, под которыми видны верхняя и нижняя точки статуи, равны соответственно $$\angle ACH$$ и $$\angle BCH$$, где $$CH \perp AB$$.

Из рисунка:

$$\tan \angle ACH=\frac{a}{x}, \qquad \tan \angle BCH=\frac{b}{x}.$$

Угол, под которым видна статуя, равен

$$\angle ACB=\angle ACH-\angle BCH.$$

Пусть $$z=\tan \angle ACB$$. Тогда по формуле тангенса разности:

$$z=\frac{\frac{a}{x}-\frac{b}{x}}{1+\frac{ab}{x^2}} =\frac{a-b}{x}\cdot \frac{x^2}{x^2+ab} =\frac{x(a-b)}{x^2+ab}.$$

Чтобы угол был наибольшим, нужно максимизировать функцию

$$f(x)=\frac{x(a-b)}{x^2+ab}, \qquad x>0.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{(a-b)(x^2+ab)-x(a-b)\cdot 2x}{(x^2+ab)^2} =\frac{(a-b)(ab-x^2)}{(x^2+ab)^2}.$$

Так как $$a>b$$, знак производной определяется выражением $$ab-x^2$$. Следовательно, функция возрастает при $$x<\sqrt{ab}$$ и убывает при $$x>\sqrt{ab}$$. Значит, максимальное значение достигается при

$$x=\sqrt{ab}.$$

Ответ: $$\sqrt{ab}$$.