Упр.32.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

У пятиугольника $$ABCDE$$ углы $$A$$, $$B$$ и $$E$$ — прямые, $$AB=a$$, $$BC=b$$, $$AE=c$$, $$DE=m$$. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади и вычислите эту площадь, если: а) $$a=7$$, $$b=9$$, $$c=3$$, $$m=5$$; б) $$a=7$$, $$b=18$$, $$c=3$$, $$m=1$$.

Подробный ответ

Пусть прямоугольник имеет стороны $$x$$ и $$y$$, где $$x$$ — его ширина, а $$y$$ — высота. Тогда его вершины лежат внутри пятиугольника, а площадь равна $$S=xy$$.

Из геометрии фигуры получаем, что максимальная площадь достигается в одном из двух случаев:

либо прямоугольник имеет стороны $$a$$ и $$c$$, тогда $$S_1=ac$$;
либо прямоугольник вписан в прямоугольную трапецию, и тогда его площадь равна
$$S_2=\frac{(a-m)c+m(c-b)}{4(a-m)(c-b)}\cdot 4(a-m)(c-b)=\frac{\big((a-m)c+m(c-b)\big)^2}{4(a-m)(c-b)}.$$

Следовательно,

$$S_{\max}= \begin{cases} \dfrac{\big((a-m)c+m(c-b)\big)^2}{4(a-m)(c-b)}, & \text{если } 0<\dfrac{c-2b}{m}<\dfrac{c-b}{a-m}<\dfrac{c}{m},\\[8pt] cm, & \text{если } \dfrac{c-b}{a-m}\ge \dfrac{c}{m},\\[8pt] ab, & \text{если } \dfrac{c-b}{a-m}\le \dfrac{c-2b}{m}\ \text{или}\ c-2b\le 0. \end{cases}$$

а) $$a=7,\ b=9,\ c=3,\ m=5.$$

Имеем:

$$c-2b=3-18=-15<0,$$

значит, подходит третий случай, и

$$S_{\max}=ab=7\cdot 3=21.$$

б) $$a=7,\ b=18,\ c=3,\ m=1.$$

Тогда

$$c-2b=3-36=-33<0,$$

поэтому снова

$$S_{\max}=ab=7\cdot 3=21.$$

Ответ: а) $$21$$; б) $$21$$.