Упр.32.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Из прямоугольной трапеции с основаниями $$a$$ и $$b$$ и высотой $$h$$ вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если: а) $$a=80$$, $$b=60$$, $$h=100$$; б) $$a=24$$, $$b=8$$, $$h=12$$?

Пусть вершины искомого прямоугольника лежат на сторонах трапеции так, что его высота равна $$x$$. Тогда ширина прямоугольника на уровне $$x$$ меняется линейно.

Обозначим через $$y$$ ширину прямоугольника. Из подобия треугольников получаем:

$$\frac{y-b}{h}=\frac{a-b}{h}\cdot\frac{x}{h}$$

Удобнее сразу записать ширину на высоте $$x$$:

$$y=b+\frac{a-b}{h}x.$$

Тогда площадь прямоугольника

$$S(x)=x\left(b+\frac{a-b}{h}x\right)=bx+\frac{a-b}{h}x^2.$$

Так как в прямоугольной трапеции ширина с ростом $$x$$ увеличивается, максимум площади достигается при наибольшем допустимом $$x$$. Для прямоугольника, вписанного в такую трапецию, максимальная площадь равна

$$S_{\max}=\begin{cases} \dfrac{a^2h}{4(a-b)}, & a>2b,\\[6pt] bh, & a\le 2b. \end{cases}$$

Теперь подставим данные.

а) $$a=80,\ b=60,\ h=100.$$ Здесь $$a\le 2b$$, значит

$$S_{\max}=bh=60\cdot 100=6000.$$

б) $$a=24,\ b=8,\ h=12.$$ Здесь $$a>2b$$, значит

$$S_{\max}=\frac{a^2h}{4(a-b)}=\frac{24^2\cdot 12}{4(24-8)}=\frac{576\cdot 12}{64}=108.$$

Ответ

а) $$6000$$; б) $$108$$.