Упр.32.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Пусть $$x$$ — длина второго основания трапеции, а $$h$$ — её высота.

Так как трапеция равнобедренная, то в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$15$$ и катетом $$\dfrac{x-15}{2}$$ получаем:

$$15^2=\left(\frac{x-15}{2}\right)^2+h^2.$$

Отсюда

$$h^2=15^2-\left(\frac{x-15}{2}\right)^2 =\left(15-\frac{x-15}{2}\right)\left(15+\frac{x-15}{2}\right) =\frac{45-x}{2}\cdot\frac{15+x}{2}.$$

Площадь трапеции:

$$S(x)=\frac12(x+15)h =\frac12(x+15)\sqrt{\frac{45-x}{2}\cdot\frac{15+x}{2}} =\frac14\sqrt{(45-x)(15+x)^3}.$$

Так как множитель $$\frac14$$ постоянен, достаточно рассмотреть функцию

$$t(x)=(45-x)(15+x)^3.$$

Найдём её производную:

$$t'(x)=-(15+x)^3+(45-x)\cdot 3(15+x)^2 =(15+x)^2\bigl(3(45-x)-(15+x)\bigr) =(15+x)^2(120-4x).$$

На допустимом промежутке $$15<x<45$$ знак производной определяется множителем $$120-4x$$. Поэтому

$$t'(x)>0 \text{ при } x<30,\qquad t'(x)<0 \text{ при } x>30.$$

Значит, площадь трапеции достигает наибольшего значения при

$$x=30.$$

Ответ: $$30\text{ см}$$.