Упр.32.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объём $$343\ \text{м}^3$$. При каких размерах на его изготовление пойдёт наименьшее количество материала?

Пусть $$a$$ — сторона квадратного основания бака, а $$h$$ — его высота. Тогда по условию

$$a^2h=343.$$

Отсюда

$$h=\frac{343}{a^2}.$$

Площадь полной поверхности закрытого бака равна

$$S=2a^2+4ah.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(a)=2a^2+4a\cdot \frac{343}{a^2}=2a^2+\frac{1372}{a}, \qquad a>0.$$

Найдём минимум этой функции:

$$S'(a)=4a-\frac{1372}{a^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$4a-\frac{1372}{a^2}=0,$$

$$4a^3=1372,$$

$$a^3=343,$$

$$a=7.$$

Тогда

$$h=\frac{343}{7^2}=7.$$

Значит, наименьшее количество материала потребуется при размерах бака $$7\text{ м} \times 7\text{ м} \times 7\text{ м}.$$

Ответ

$$7\text{ м} \times 7\text{ м} \times 7\text{ м}.$$