Упр.32.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. На графике функции $$y=\sqrt{x}$$ найдите точку $$M$$, ближайшую к точке $$A(4{,}5;0)$$.

Пусть искомая точка имеет координаты $$M(x;\sqrt{x}), \quad x \ge 0.$$

Тогда квадрат расстояния от точки $$A(4{,}5;0)$$ до точки $$M$$ равен

$$AM^2=(x-4{,}5)^2+(\sqrt{x}-0)^2$$

$$AM^2=(x-4{,}5)^2+x=x^2-9x+20{,}25+x=x^2-8x+20{,}25.$$

Чтобы расстояние было наименьшим, достаточно найти минимум функции

$$f(x)=x^2-8x+20{,}25.$$

Её производная:

$$f'(x)=2x-8.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$2x-8=0 \Rightarrow x=4.$$

Так как $$f»(x)=2>0,$$ это точка минимума.

Тогда

$$y=\sqrt{4}=2.$$

Следовательно, ближайшая к точке $$A(4{,}5;0)$$ точка графика функции $$y=\sqrt{x}$$ имеет координаты

$$M(4;2).$$

Ответ

$$M(4;2)$$