Упр.32.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. На графике функции $$y=x^2$$ найдите точку $$M$$, ближайшую к точке $$A(0; 1{,}5)$$.

Пусть искомая точка имеет вид $$M(x;x^2).$$ Тогда квадрат расстояния от точки $$A(0;1{,}5)$$ до точки $$M$$ равен

$$AM^2=(x-0)^2+(x^2-1{,}5)^2=x^2+x^4-3x^2+2{,}25=x^4-2x^2+2{,}25.$$

Найдём минимум функции

$$f(x)=x^4-2x^2+2{,}25.$$

Её производная:

$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной: при $$x=\pm1$$ функция имеет минимумы, а при $$x=0$$ — максимум. Значит, ближайшие к точке $$A$$ точки на параболе имеют абсциссы $$x=-1$$ и $$x=1.$$

Тогда

$$M_1(-1;1), \qquad M_2(1;1).$$

Найдём минимальное расстояние:

$$AM_{\min}=\sqrt{(-1-0)^2+(1-1{,}5)^2}=\sqrt{1+0{,}25}=\sqrt{1{,}25}=\frac{\sqrt5}{2}.$$

Ответ

$$M_1(-1;1),\; M_2(1;1), \qquad AM_{\min}=\frac{\sqrt5}{2}.$$