Упр.32.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Сторона квадрата $$ABCD$$ равна $$8\ \text{см}$$. На сторонах $$AB$$ и $$BC$$ взяты соответственно точки $$P$$ и $$E$$ так, что $$BP=BE=3\ \text{см}$$. На сторонах $$AD$$ и $$CD$$ берутся точки соответственно $$K$$ и $$M$$ так, что четырёхугольник $$KREM$$ — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?
Так как $$BP=BE=3,$$ то треугольник $$PBE$$ равнобедренный и прямоугольный, значит
$$\angle BPE=\angle BEP=45^\circ,$$
а его площадь равна
$$S_{PBE}=\frac12\cdot BP\cdot BE=\frac12\cdot 3\cdot 3=\frac92.$$
Пусть $$KD=x.$$ Тогда из параллельности сторон квадрата и условия трапеции получаем, что $$PE\parallel KM.$$ Следовательно, соответствующие углы равны, и треугольник $$MDK$$ прямоугольный равнобедренный, поэтому
$$MD=DK=x,$$
$$S_{MDK}=\frac12\cdot MD\cdot DK=\frac12x^2.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$PAK$$ и $$ECM$$. Имеем
$$PA=EC=8-3=5,$$
$$KA=MC=8-x,$$
поэтому
$$S_{PAK}=S_{ECM}=\frac12\cdot 5\cdot(8-x)=20-\frac{5x}{2}.$$
Тогда площадь трапеции
$$S(x)=S_{ABCD}-S_{PBE}-S_{MDK}-S_{PAK}-S_{ECM},$$
то есть
$$S(x)=64-\frac92-\frac{x^2}{2}-\left(20-\frac{5x}{2}\right)-\left(20-\frac{5x}{2}\right) =5x+19{,}5-\frac{x^2}{2}.$$
Найдём максимум этой функции:
$$S'(x)=5-x.$$
$$S'(x)=0 \Rightarrow x=5.$$
Подставим:
$$S_{\max}=S(5)=5\cdot 5+19{,}5-\frac{5^2}{2}=25+19{,}5-12{,}5=32.$$
Ответ
$$32\ \text{см}^2$$
