Упр.32.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Площадь прямоугольника составляет $$16\ \text{см}^2$$. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Пусть $$a$$ и $$b$$ — стороны прямоугольника. Тогда

$$ab=16,$$

откуда

$$b=\frac{16}{a}.$$

Периметр прямоугольника равен

$$P(a)=2a+2b=2a+\frac{32}{a}, \qquad a>0.$$

Найдём минимум этой функции:

$$P'(a)=2-\frac{32}{a^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2-\frac{32}{a^2}=0,$$

$$\frac{32}{a^2}=2,$$

$$a^2=16,$$

$$a=4.$$

Тогда

$$b=\frac{16}{4}=4.$$

Значит, наименьший периметр будет у квадрата со сторонами $$4$$ см и $$4$$ см.

Ответ: $$4\times 4$$ см.