Упр.32.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Представьте число $$5$$ в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.

Пусть первое слагаемое равно $$x$$, тогда второе слагаемое равно $$5-x$$, где $$0<x<5$$.

Тогда произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого равно

$$f(x)=x(5-x)^3.$$

Найдём максимум функции на промежутке $$0<x<5$$:

$$f'(x)=(5-x)^3-3x(5-x)^2=(5-x)^2(5-4x).$$

Критическая точка:

$$5-4x=0,\qquad x=\frac54.$$

Так как при $$0<x<5$$ множитель $$\left(5-x\right)^2\ge 0$$, знак производной определяется выражением $$5-4x$$. Значит, функция возрастает при $$x<\frac54$$ и убывает при $$x>\frac54$$, поэтому в точке $$x=\frac54$$ достигается максимум.

Тогда второе слагаемое:

$$5-\frac54=\frac{15}{4}.$$

Ответ: $$\frac54$$ и $$\frac{15}{4}$$.