Упр.32.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Представьте число $$3$$ в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — положительные числа, причём

$$x+y=3.$$

Тогда $$y=3-x$$, а искомая сумма равна

$$f(x)=3x+y^3=3x+(3-x)^3,$$

где $$0<x<3.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3-3(3-x)^2.$$

Приравняем её к нулю:

$$3-3(3-x)^2=0,$$

$$1-(3-x)^2=0,$$

$$3-x=\pm 1.$$

С учётом условия $$0<x<3$$ получаем:

$$3-x=1,$$

$$x=2,\qquad y=1.$$

Проверим значение функции:

$$f(2)=3\cdot 2+1^3=7.$$

Следовательно, наименьшая сумма достигается при разложении числа $$3$$ на слагаемые $$2$$ и $$1$$.

Ответ: $$3=2+1$$.